Existence d'un diviseur premier

Propriété

Soit \(n \geqslant 2\) un entier. Alors \(n\) possède un diviseur premier \(p\) .
De plus, si \(n\) n'est pas premier, alors il admet un diviseur premier \(p\) tel que \(2 \leqslant p \leqslant \sqrt{n}\) .

Démonstration

Si  \(n\) est premier, alors le résultat est immédiat : il suffit de choisir \(p=n\) .

Supposons que \(n\) n'est pas premier, c'est-à-dire qu'il admet un diviseur positif compris strictement entre \(1\) et \(n\) . L'ensemble des diviseurs de \(n\) compris strictement entre \(1\) et \(n\) est donc une partie non vide de \(\mathbb{N}\) , donc cet ensemble admet un plus petit élément \(p\) avec \(1.

Raisonnons par l'absurde et supposons que \(p\) n'est pas premier.

En appliquant le raisonnement précédent à \(p\) (au lieu de \(n\) ), on en déduit que \(p\) admet un diviseur \(d\) avec \(1. Or, comme \(d\) divise \(p\) et \(p\) divise \(n\) , on en déduit que \(d\) divise \(n\) .

Ainsi, \(p\) n'est pas le plus petit diviseur de \(n\) compris strictement entre \(1\) et \(n\) : contradiction.

On en déduit finalement que \(p\) est premier, et donc que \(n\) possède un diviseur premier \(p\) .

De plus, on a alors \(n=pq\) avec \(2 \leqslant p \leqslant q\) puisque \(p\) est le plus petit diviseur de \(n\) compris strictement entre \(1\) et \(n\) .

Comme \(p \leqslant q\) , on a \(p^2 \leqslant pq=n\) et donc \(p \leqslant \sqrt{n}\) . Ainsi, \(2 \leqslant p \leqslant \sqrt{n}\) .